Coordonnées d'un vecteur à partir de celles de deux points

Propriété

Soit \(\left( \text O~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) un repère du plan. Soit \(\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A} \right)\) et \(\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B} \right)\) deux points du plan.
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\)  dans la base \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) sont données par \(\boxed{\begin{pmatrix} x_{\text B} - x_{\text A}\\ y_{\text B} - y_{\text A} \end{pmatrix}}\) .

Démonstration
Dans un repère \(\left( \text O ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\)du plan, on considère les points \(\text A \left( \color{green}{x_{\text A}} ; \color{red}{y_{\text A}} \right)\) et \(\text B \left( \color{blue}{x_{\text B}} ; \color{orange}{y_{\text B}} \right)\).
D'après la relation de Chasles, on peut écrire \(\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{AO}} + \overrightarrow{\text{OB}}\).
Ceci peut aussi s'écrire \(\overrightarrow{\text{AB}} = -\overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OB}}\).
Or, on a :

• \(\overrightarrow{\text{OA}} = \color{green}{x_{\text A}} \times \overrightarrow{i} + \color{red}{y_{\text A}} \times \overrightarrow{j}\) soit \(-\overrightarrow{\text{OA}} = -\color{green}{x_{\text A}} \times \overrightarrow{i} - \color{red}{y_{\text A}} \overrightarrow{j}\) 
  
• \(\overrightarrow{\text{OB}} = \color{blue}{x_{\text B}} \times \overrightarrow{i} + \color{orange}{y_{\text B}} \times \overrightarrow{j}\)
  

Donc on peut écrire \(\overrightarrow{\text{AB}} = \left(\color{blue}{x_{\text B}} - \color{green}{x_{\text A}} \right) \times \overrightarrow{i} + \left(\color{orange}{y_{\text B}} - \color{red}{y_{\text A}}\right) \overrightarrow{j}\) soit \(\boxed{\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} \color{blue}{x_{\text B}} - \color{green}{x_{\text A}}\\ \color{orange}{y_{\text B}} - \color{red}{y_{\text A}} \end{pmatrix}}\)  dans la base \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\).

Exemple
Dans un repère \(\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\)du plan, on considère les points \(\text A \left( \color{green}{-2}~ ; \color{red}{5} \right)\) et \(\text B \left( \color{blue}{3} ~; \color{orange}{-2} \right)\).
Alors on a \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} \color{blue}{x_{\text B}} - \color{green}{x_{\text A}}\\ \color{orange}{y_{\text B}} - \color{red}{y_{\text A}} \end{pmatrix} \iff \overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} \color{blue}{3} - (\color{green}{-2})\\ \color{orange}{-2} - \color{red}{5} \end{pmatrix} \iff \boxed{\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} 5\\ -7 \end{pmatrix}}\)